a,
ĐK cắt nhau: $2m-1\neq m+1$
$\Leftrightarrow m\neq 2$
b,
ĐK vuông góc: $(2m-1)(m+1)=-1$
$\Leftrightarrow 2m^2+m=0$
$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=\dfrac{-1}{2}$
c,
ĐK song song: $2m-1=m+1$, $2m-3\ne m$
$\Leftrightarrow m=2$, $m\ne 3$ (TM)
Vậy $m=2$
$d_1: y=3x+1$
$d_2: y=3x+2$
Lấy điểm $A(0;1)\in d_1$
Gọi $d$ là đường thẳng $d_1$ vuông góc $d_2$, đi qua A.
$\Rightarrow d: y=\dfrac{-1}{3}x+b$
$A\in d\Rightarrow b=1$
Vậy $d: y=\dfrac{-1}{3}x+1$
Hoành độ giao A' của $d$ và $d_2$:
$\dfrac{-1}{3}x+1=3x+2$
$\Leftrightarrow x=-0,3$
$\Rightarrow y=3x+2=1,1$
Vậy $A'(-0,3;1,1)$
Khoảng cách $d_1$, $d_2$:
$AA'=\sqrt{(-0,3-0)^2+(1,1-1)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
