Ta có: $AE;DB$ là đường phân giác $\widehat{A};\widehat{D}$
$⇒\widehat{EAD}=\widehat{EAB}=\widehat{OAD}=\dfrac{1}{2} \widehat{A}$
$\widehat{ADB}=\widehat{ADO}=\dfrac{1}{2} \widehat{D}$
$⇒\widehat{OAD}+\widehat{ADO}=\dfrac{1}{2} \widehat{A}+\dfrac{1}{2} \widehat{D}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$
$⇔ΔADO$ vuông tại $O$
$⇒AE⊥BD$ tại $O$
bTa có: $AB//DE$
$⇒\widehat{BAE}=\widehat{AED}=\widehat{EAD}$
$⇒ΔDAE$ cân tại $D$
$⇒AD=DE(1)$
Chứng minh tương tự ta có: $ΔADB$ cân tại $E$
$⇒AD=AB(2)$
Từ $(1)(2)⇒DE=AB(3)$
Xét tứ giác $ABED$ có: $AB//DE;AB=DE$
$⇒$ Tứ giác $ΔABED$ là hình bình hành
$⇒AD//BE;AD=BE$
c, Xét tứ giác $ABCE$
$AB//CE;AE//BC$
$⇒$ Tứ giác $ABCE$ là hình bình hành
$⇒AB=EC(4)$
$⇒DE=EC$
$⇒E$ là trung điểm $CD$
d,
Ta có: $EO//BC$
$⇒$ tứ giác $BCEO$ là hình thang
$⇒$ Tứ giác $BCEO$ là hình thang vuông tại $O;B$ do $AE⊥BD$ tại $O$
e,
Ta có: $\widehat{BEC}=80^o$
$⇒\widehat{BED}=180^o-80^o=100^o$
$⇒\widehat{A}=100^o$ do tứ giác ABED là hình bình hành
$⇒\widehat{D}=80^o$
Ta có: $\widehat{DBC}=90^o$
$⇒ΔBDC$ vuông tại $D$ có $E$ là trung điểm $DC$
$⇒BE=EC$
$⇒ΔBEC$ cân tại $E$
$⇒\widehat{EBC}=\dfrac{180^o-\widehat{BEC}}{2}=\dfrac{180^o-100^o}{2}=50^o$
$⇒\widehat{B}=\widehat{EBC}+\widehat{ABE}=50^o+\widehat{D}=50^o+80^o=130^o$
$⇒\widehat{D}=180^o-130^o=50^o$
B4,
Trên tia đối tia $AE$ lấy $F$ sao cho $AE=EF$
Xét $ΔAEB$ và $ΔFEC$ có:
$AE=FE$
$\widehat{AEB}=\widehat{FEC}$
$EB=EC$ ($E$ là trung điểm $BC$)
$⇒ΔAEB=ΔFEC(c.g.c)$
$⇒\widehat{ABE}=\widehat{ECF}$
$⇒AB//CF$
Mà $AB//CD$
$⇒F;C;D$ thẳng hàng
Xét $ΔDAE$ có: $DE$ là đường cao$DE⊥AF$ (do $\widehat{AED}=90^o$)
$DE$ là đường trung tuyến
$⇒ΔADE$ cân tại $D$
$⇒DE$ đồng thời là đường phân giác $\widehat{D}$ (đpcm)
