Để $\dfrac{n+15}{n+3}$ là số tự nhiên thì : $n+15 \vdots n+3$
$⇔ n+3 + 12 \vdots n+3$
$⇔ 12 \vdots n+3$
$⇔ n+3$ $∈$ `Ư(12)={±1;±2;±3;±4;±6;±12}`
Mà $n$ $∈$ $N$ $⇒$ $n+3$ $∈$ `{3;4;6;12}`
$⇒$ $n$ $∈$ `{9;3;1;0}`
Vậy $n$ $∈$ `{9;3;1;0}`
Đặt `d=ƯCLNNNN(3n+1;4n+1)`
`⇒` $\left\{\begin{matrix}3n+1 \vdots d& \\ 4n+1 \vdots d& \\\end{matrix}\right.$
$⇒$ `4.(3n+1) - 3.(4n+1) \vdots d`
`⇒` `12n + 4 - 12n - 3 \vdots d`
`⇒ 1 \vdots d`
`⇒` `d` `∈` `Ư(1)={±1}`
Mà $d=1$ vì $d$ lớn nhất
Vậy `(3n+1;4n+1)=1` `∀` $x$ $∈$ $N$($đpcm$)
