Ta sẽ chứng minh $M=1^4+2^4+...+n^4=\dfrac{n.(n+1).(2n+1).(3n²+3n-1)}{30}$ theo phương pháp quy nạp
Với $n=1⇒M=1^4=1$
$\dfrac{1.(1+1)(2.1+1)(3.1²+3.1-1)}{30}=1$
$⇒$ đúng
Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$
$⇒1^4+2^4+...+k^4=\dfrac{k(k+1)(2k+1)(3k²+3k-1)}{30}$
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$
Tức là: $1^4+2^4+....+k^4+(k+1)^4=\dfrac{(k+1)(k+2)[2(k+1)+1][3(k+1)²+3(k+1)-1}]{30}$
$=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+9k+5}{30}$
Thật vậy: $VT=\dfrac{k(k+1)(2k+1)(3k²+3k-1)}{30}+(k+1)^4$
$=\dfrac{(k+1)[k(2k+1)(3k²+3k-1)+30(k+1)³]}{30}$
$=\dfrac{(k+1)(6k^4+6k³–2k²+3k³+3k²-k+30k³+90k²+90k+30)}{30}$
$=\dfrac{(k+1)(6k^4+39k³+91k²+89k+30)}{30}$
$=\dfrac{(k+1)(k+2)(6k³+27k²+37k+15)}{30}$
$=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+9k+5}{30}$
$=VP$
Do đó $M=1^4+2^4+...+n^4=\dfrac{n.(n+1).(2n+1).(3n²+3n-1)}{30}$
Với $S=1^4+2^4+...+100^4=\dfrac{100.(100+1).(2.100+1).(3.100²+3.100-1)}{30}=2050333330$
