Đặt `x^2019=(x^673)^3=a^3`
Đặt `y^673=b`
`⇒y^1346=b^2`
`⇒y^2019=b^3`
Ta có:
`a^3=b^3-b^2-b+2`
`⇔a^3=b^3-3b^2+3b-1+2b^2-4b+3`
`⇔a^3=(b-1)^3+2b^2-4b+3`
Ta có:
`2b^2-4b+3`
`=2b^2-4b+2+1`
`=(\sqrt{2b}-\sqrt{2})^2+1>0`
`⇒(b-1)^3+2b^2-4b+3>(b-1)^3`
`⇔a^3>(b-1)^3`
Lại có:
`a^3=b^3-b^2-b+2`
`a^3=b^3-b^2+b-2b+2`
`a^3=b^3-(b-1)(b+2)`
+) Nếu `b>1` hoặc `b<-2` thì `(b-1)(b+2)>0`
`⇒b^3>a^3` (do `a,b∈Z`)
mà `a^3>(b-1)^3`
`⇒b^3>a^3>(b-1)^3`
`⇒b>a>b-1` (vô lý)
+) Nếu `-2≤b≤1`
`⇒b=-2;-1;0;1`
Với `b=-2`
`⇒y^673=-2` (vô lý)
Với `b=-1`
`⇒y^673=-1`
`⇒y=-1`
`⇒x=1`
Với `b=0`
`⇒y^673=0`
`⇒y=0`
`⇒x^2019=2` (vô lý)
Với `b=1`
`⇒y^673=1`
`⇒y=1`
`⇒x^2019=1`
`⇒x=1`
Vậy `x=y=1` hoặc `x=-1;y=1`
