a) Ta có: $G$ là trọng tâm $ΔABC$ $(gt)$
$\Rightarrow OG = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}R$
$\Rightarrow$ Khi $A$ đi chuyển, $G$ di chuyển trên $\left(O;\dfrac{1}{3}R\right)$
b) Ta có: $AB + AC = \sqrt{(AB + AC)^2} \leq \sqrt{2(AB^2 + AC^2)} = BC\sqrt{2}$
$\Rightarrow P_{ABC} = AB + AC + BC \leq BC\sqrt{2} + BC = BC(1 + \sqrt{2}) = 2R(1 + \sqrt{2})$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AB = AC \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
ii) Từ $A$ kẻ đường cao $AH$ $(H \in BC)$
Ta có: $AH \leq AO$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC \leq \dfrac{1}{2}AO.BC = \dfrac{1}{2}R^3$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AH = AO = R \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
iii) Ta có: $S_{OIAJ} = AI.AJ = \dfrac{AB}{2}.{AC}{2} = \dfrac{S_{ABC}}{2}$
$S_{OIAJ}$ lớn nhất $\Leftrightarrow S_{ABC}$ lớn nhất
$\Leftrightarrow maxS_{OIAJ} = \dfrac{1}{2}R^3 \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn (Theo câu ii)
iv) Gọi $M$ là trung điểm $DE$
Ta có: $BCED$ là hình thang vuông tại $B, C$
$OB = OC = R$
$MD = ME$ (cách dựng)
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình
$\Rightarrow OM//BD//CE; \, OM\perp BC$
$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}(BD + CE)$
$\Rightarrow S_{BDEC} = \dfrac{1}{2}(BD + CE).BC = OM.BC$
$\Rightarrow S_{BDEC}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM$ nhỏ nhất
Ta có: $OM \geq OA$
$\Rightarrow OM_{min} = OA = R$
$\Rightarrow OA\perp BC$
$\Rightarrow minS_{BDEC} = OA.BC = R^3 \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
