a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{50^2 - 20^2} = 10\sqrt{21} \, cm$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB^2 = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{20^2}{50} = 8 \, cm$
$AC^2 = CH.BC \Rightarrow CH = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{(10\sqrt{21})^2}{50} = 42 \, cm$
Ta có: $\widehat{HAC} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)
$cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}$
$\Rightarrow \widehat{HAC} = arccos\left(\dfrac{2}{5}\right) \approx 66,42^o$
b) Ta có: $HI = IC = \dfrac{HC}{2} \, (gt)$
$\Rightarrow HI = \dfrac{42}{2} = 21 \, cm$
Ta lại có: $AB.AC = BC.AH = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{20.10\sqrt{21}}{50} = 4\sqrt{21} \, cm$
Ta được: $tan\widehat{AIH} = \dfrac{AH}{HI} = \dfrac{4\sqrt{21}}{21}$
$\Rightarrow \widehat{AIH} = arctan\left(\dfrac{4\sqrt{21}}{21}\right) \approx 41,12^o$
