Đáp án: $ 102 ≤ m ≤ \frac{433}{4}$
Giải thích các bước giải:
Điều kiện $ 5 + 4x - x² ≥ 0 ⇔ - 5 ≤ x ≤ - 1 $.
Đặt $ : t = \sqrt[]{5 + 4x - x²}$
$ PT ⇔ t² - t + m - 108 = 0 (1)$
Ta có $: 5 + 4x - x² = 9 - (x - 2)² ≤ 9 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 (2)$
Cần xác định $m$ để $(1)$ có nghiệm thỏa $(2)$
$ Δ = (-1)² - 4(m - 108) = 433 - 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ \frac{433}{4}(3)$
$ t_{1} + t_{2} = 1 > 0 ; t_{1}t_{2} = m - 108$
@ Nếu $ m ≥ 108 ⇔ m - 108 ≥ 0 ⇔ t_{1}t_{2} ≥ 0 $
$ ⇒ 0 ≤ t_{1} < t_{2} < 3 $ thỏa $(2)$
Kết hợp $(3) ⇒ 108 ≤ m ≤ \frac{433}{4}$ là nghiệm bài toán
@ Nếu $ m < 108 ⇔ m - 108 < 0 ⇒ t_{1} < 0 < t_{2} $
Đặt $f(t) = t² - t + m - 108 $
$ 0 < t_{2} < 3 ⇔ f(0) < 0; f(3) ≥ 0$
@ $f(0) = m - 108 < 0 ⇔ m < 108$
@ $f(3) = 3² - 3 + m - 108 = m - 102 ≥ 0 ⇔ m ≥ 102$
$ ⇔ 102 ≤ m < 108$
Kết hợp lại nghiệm bài toán là $: 102 ≤ m ≤ \frac{433}{4}$
