Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, $x^{4}-3x^{3}+5x^{2}-9x+6$
$= x^{4}-x^{3}-2x^{3}+2x^{2}+3x^{2}-3x-6x+6$
$= x^{3}(x-1)-2x^{2}(x-1)+3x(x-1)-6(x-1)$
$= (x-1)(x^{3}-2x^{2}+3x-6)$
$= (x-1)[x^{2}(x-2)+3(x-2)]$
$= (x-1)(x-2)(x^{2}+3)$
Ta thấy: (x-1);(x-2) là 2 số nguyên liên tiếp (vì x∈Z) nên luôn chia hết cho 2
⇒ $ (x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ luôn chia hết cho 2 (*1)
Mặt khác:
+ nếu x chia hết cho 3 ⇒ $(x^{2}+3)$ chia hết cho 3
⇒ $(x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ chia hết cho 3
+ nếu x chia cho 3 dư 1 ⇒ (x-1) chia hết cho 3
⇒$(x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ chia hết cho 3
+ nếu x chia cho 3 dư 2 ⇒ (x-2) chia hết cho 3
⇒$(x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ chia hết cho 3
⇒$(x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ luôn chia hết cho 3(*2)
Từ (*1)(*2)
⇒$(x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3
⇔$(x-1)(x-2)(x^{2}+3)$ chia hết cho 6 (đpcm)
Chúc bạn học tốt!
