$\begin{array}{l} A = \dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x - 3}- \dfrac{7\sqrt x + 3}{x - 9}\\ B = \dfrac{2\sqrt x}{\sqrt x + 3}\\ ĐKXĐ:\, x \geq 0; \, x \ne 9\\ a) \,\,Ta\,\,có: x = 4\\ \Rightarrow \sqrt x = 2\\ \text{Thay vào B, ta được: }\\ B = \dfrac{2.2}{2 + 3} = \dfrac{4}{5}\\ b)\,\,Q = A + B\\ =\dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x - 3}- \dfrac{7\sqrt x + 3}{x - 9} + \dfrac{2\sqrt x}{\sqrt x + 3}\\ = \dfrac{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 3)}{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)} - \dfrac{7\sqrt x + 3}{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)} + \dfrac{2\sqrt x(\sqrt x -3)}{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}\\ = \dfrac{x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 -7\sqrt x - 3 + 2x - 6\sqrt x}{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}\\ = \dfrac{3x - 9\sqrt x}{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}\\ = \dfrac{3\sqrt x(\sqrt x -3)}{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}\\ = \dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x + 3}\\ c)\,\, Q = \dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x + 3} = \dfrac{3\sqrt x + 9 - 9}{\sqrt x + 3} = 3 - \dfrac{9}{\sqrt x + 3}\\ Q \in \Bbb Z \Leftrightarrow (\sqrt x + 3) \in Ư(9)\\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = \left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\\ mà\,\,\,\sqrt x \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt x + 3 \geq 3\\ \Rightarrow \sqrt x + 3 = \left\{3;9\right\}\\ \text{Ta có bảng giá trị:}\\ \begin{array}{|l|r|} \hline \sqrt x + 3&3&9\\ \hline \sqrt x &0 &6\\ \hline x &0 &36\\ \hline \end{array}\\ Vậy\,\,\,x = \left\{0;36\right\}\\ d) \,\, Q = \dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x + 3}\\ Q = \dfrac{\sqrt x}{2} \Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x + 3} = \dfrac{\sqrt x}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 = 6\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 3\\ \Leftrightarrow x = 9\\ \text{Do x = 9 không thỏa ĐKXĐ, nên không có x thỏa mãn đề bài} \end{array}$

Đáp án:

a.          $B = \dfrac{4}{5}$  

b.          $Q = \dfrac{3\sqrt{c}}{\sqrt{x} + 3}$

Giải thích các bước giải:

 a. Với $x = 4$ ta có: 

 $B = \dfrac{2\sqrt{4}}{\sqrt{4} + 3} = \dfrac{2.2}{2 + 3} = \dfrac{4}{5}$ 

b. ĐKXĐ: $x \geq 0$;   $x \neq 9$

$Q = A + B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ 
$Q = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) - (7\sqrt{x} + 3) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}$ 

$Q = \dfrac{x + 4\sqrt{x} + 3 - 7\sqrt{x} - 3 + 2x - 6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$ 

$Q = \dfrac{3x - 9\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$ 

$Q = \dfrac{3\sqrt{x}(\\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$ 

$Q = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ 

c. $Q = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} =$ $\dfrac{3\sqrt{x} + 9 - 9}{\sqrt{x} + 3} = 3 - \dfrac{9}{\sqrt{x} + 3}$ 

Để Q nguyên thì $\sqrt{x} + 3$ là ước dương của 9. 

Suy ra: 

$\sqrt{x} + 3 \in \{1; 3; 9 \}$ 

$\to \sqrt{x} \in \{ - 2; 0; 6 \}$ 

$\to x \in \{ 0; 36 \}$ 

Vậy với $x = 36$ hoặc $x = 0$  thì Q nguyên.