Đáp án:
\[x = 4\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\;\;\;\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0,\;\;\;\forall x,y\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\;\;\;\forall x,y\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + 2xy + {y^2},\;\;\;\forall x,y\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2},\;\;\;\forall x,y
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)
ĐKXĐ: \(3 \le x \le 5\)
\(\sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} = {x^2} - 8x + 18\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\sqrt {x - 2} + } \right)\\
{\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} } \right)^2} \le 2.\left( {{{\sqrt {x - 3} }^2} + {{\sqrt {5 - x} }^2}} \right) = 2.\left( {x - 3 + 5 - x} \right) = 2.2 = 4\\
\Rightarrow \sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} \le 2\\
{x^2} - 8x + 18 = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 2 = {\left( {x - 4} \right)^2} + 2 \ge 2,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow \sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} \le 2 \le {x^2} - 8x + 18\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 3} + \sqrt {5 - x} = 2\\
{x^2} - 8x + 18 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 3} = \sqrt {5 - x} \\
{\left( {x - 4} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\)
Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.
