Đáp án:
Bài 1:
a. \(BC=10\) cm
\(\widehat{B}=30°; \widehat{C}=60°\)
b. \(AB=4\)
\(\widehat{B}=\widehat{C}=45°\)
c. \(\widehat{C}=30°\)
\(AB=12\sqrt{3}\) cm; \(AC=36\) cm
d. \(\widehat{B}=60°\)
\(AB=12\) cm; \(BC=24\) cm
Giải thích các bước giải:
Bài 1:
a. Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
\(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}}=10\) cm
Ta có: \(\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat{B}=30°\)
Tổng 3 góc là 180°:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
\(\Rightarrow \widehat{C}=180°-90°-30°=60°\)
b. Áp dụng đinh lí Py-ta-go:
\(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\)
\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-4^{2}}=4\) cm
Ta có: \(\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat{B}=45°\)
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
\(\Rightarrow \widehat{C}=180°-90°-45°=45°\)
c.
Tổng 3 góc bằng 180°:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
\(\Rightarrow \widehat{C}=180°-90°-60°=30°\)
Ta có:
\(\sin B=\dfrac{AC}{BC}\)
\(\Leftrightarrow \sin 60=\dfrac{AC}{24\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AC}{24\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow AC=36\) cm
Áp dụng định lí Py-ta-go:
\(AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(24\sqrt{3})^{2}-36^{2}}=12\sqrt{3}\) cm
d.
Tổng 3 góc bằng 180°:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\)
\(\Rightarrow \widehat{B}=180°-90°-30°=60°\)
Ta có:
\(\sin B=\dfrac{AC}{BC}\)
\(\Leftrightarrow \sin 60=\dfrac{12\sqrt{3}}{BC}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{12\sqrt{3}}{BC}\)
\(\Rightarrow BC=24\) cm
Áp dụng định lí Py-ta-go:
\(AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{24^{2}-(12\sqrt{3})^{2}}=12\) cm
Bài 2:
Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHB\) và \(\Delta AKC\):
Ta có: \(\widehat{A}\) góc chung
Vậy \(\Delta AHB \sim \Delta AKC\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{AH}{AK}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AK}{AC}\)
Xét \(\Delta AKH\) và \(\Delta ABC\):
Ta có: \(\widehat{A}\) là góc chung
\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AK}{AC}\) (chứng minh trên)
Vậy \(\Delta AKH \sim \Delta ABC\) (c.g.c)
Ta có: \(\dfrac{S_{\Delta AHK}}{S_{\Delta ABC}}=(\dfrac{AH}{AB})^{2}\) (Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ lệ đồng dạng)
\(\Rightarrow S_{\Delta AHK}=S_{\Delta ABC}.\cos^{2} A\)
b. \(S_{BCHK}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta AHK}\)
\(=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta ABC}.\cos^{2} A\)
\(=S_{\Delta ABC}(1-\cos^{2} A)=\sin^{2} A.S_{\Delta ABC}\) (Do \(\sin^{2} x+\cos^{2} x=1\))
