Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(n\) là số nguyên nên có 1 trong 3 dạng sau: \(n = 3k;\,\,\,n = 3k + 1;\,\,\,n = 3k + 2\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
\(\begin{array}{l}
TH1:\,\,\,n = 3k\\
A = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\\
= {\left( {3k} \right)^3} + 3.{\left( {3k} \right)^2} + 5.3k + 3\\
= 27{k^3} + 27{k^2} + 15k + 3\\
= 3.\left( {9{k^3} + 9{k^2} + 5k + 1} \right) \vdots 3\\
TH2:\,\,\,\,n = 3k + 1\\
A = {\left( {3k + 1} \right)^3} + 3.{\left( {3k + 1} \right)^2} + 5.\left( {3k + 1} \right) + 3\\
= \left( {27{k^3} + 27{k^2} + 9k + 1} \right) + 3.\left( {9{k^2} + 6k + 1} \right) + 15k + 5 + 3\\
= 27{k^3} + 54{k^2} + 42k + 12\\
= 3.\left( {9{k^3} + 18{k^2} + 14k + 4} \right) \vdots 3\\
TH3:\,\,\,n = 3k + 2\\
A = {\left( {3k + 2} \right)^3} + 3.{\left( {3k + 2} \right)^2} + 5.\left( {3k + 2} \right) + 3\\
= \left( {27{k^3} + 54{k^2} + 36k + 8} \right) + 3.\left( {9{k^2} + 12k + 4} \right) + 15k + 10 + 3\\
= 27{k^3} + 81{k^2} + 87k + 33\\
= 3.\left( {9{k^3} + 27{k^2} + 29k + 11} \right) \vdots 3
\end{array}\)
Vậy \(A = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) luôn chia hết cho 3.
