Đáp án:
Bài 2:
Ta có: n^4+6n³+11n²+6n=n^4+n³+5n³+5n²+6n²+6n=n³(n+1)+5n²(n+1)+6n(n+1)=(n+1)(n³+5n²+6n)=(n+1)(n³+2n²+3n²+6n)=(n+1)[n²(n+2)+3n(n+2)]=(n+1)[(n+2).(n²+3n)]=(n+1)(n+2)(n+3)n=n(n+1)(n+2)(n+3)
Vì n∈Z mà n,(n+1),(n+2),(n+3) là 4 số liên tiếp ⇒ n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 4 (1)
Vì (n+1),(n+2),(n+3) là 3 số liên tiếp nên (n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 3 ⇔ n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 3 (2)
Vì là 4 số liên tiếp ⇒n(n+1)(n+2)(n+3) chắc chắn chia hết cho 2(3)
Từ (1),(2),(3)⇒n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24 ( Vì ƯCNN(2,3,4)=1) ( ĐPCM )
Bài 3:
a, Ta có: n²+4n+3=n²+n+3n+3=n(n+1)+3(n+1)=(n+3)(n+1)
Vì n lẻ, đăt n=2k+1
⇒ (n+3)(n+1)=(2k+1+3)(2k+1+1)=(2k+4)(2k+2)=2(k+2).2(k+1)=4(k+1)(k+2)
Vì (k+1)(k+2) là tích 2 số liên tiếp ⇒ (k+1)(k+2) chia hết cho 2. Đặt (k+1)(k+2)=c
⇔(n+3)(n+1)=4.2c=8c chia hết cho 8
Vậy n²+4n+3 chia hết cho 8
b) Ta có: n³+3n²-n-3=n²(n+3)-(n+3)=(n²-1)(n+3)=(n-1)(n+1)(n+3)
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp ( Vì n là số lẻ)⇒(n-1)(n+1) chia hết cho 8(2)
Vì n+3 là số chẵn ( Vì n lẻ)⇒n+3 chia hết cho 2(1)
Từ (1) và (2)⇒ n³+3n²-n-3 chia hết cho 16(4)
Ta thấy: n³-3n²-n+3 = n³-n-3(n²-1)=n(n+1)(n-1) - 3(n²-1)
TH1:n=3k⇒n(n+1)(n-1)3⇒n³+3n²-n-3 chia hết 3
TH2:n=3k+1⇒(n -1)chia hết 3⇒n³+3n²-n-3chia hết 3
TH3:n=3k+2⇒(n+1) = 3k + 3 chia hết 3=>n³+3n²-n-chia hết 3 (3)
Từ (3) và (4)⇒n³+3n²-n-3 chia hết cho 3.16=48
Vậy n³+3n²-n-3 chia hết cho 48
c)Ta có: n^12-n^8-n^4+1
=n^8(n^4-1)-(n^4-1)
=(n^8-1)(n^4-1)=(n^4+1)(n^4-1)^2
=(n^4+1)[(n^2+1)(n^2-1)]^2
=(n-1)^2*(n+1)^2*(n^2+1)^2*(n^4+1)
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chỉ chia hết cho 2 ,1 số chia hết cho 4 nên (n-1)(n+1) chia hết cho 8 => (n-1)^2*(n+1)^2 chia hết cho 64
Mặt khác n lẻ nên n^2+1,n^4+1 cũng là số chẵn nên (n^2+1)^2*(n^4+1) chia hết cho 2^3=8
Do đó : n^12-n^8-n^4+1 chia hết cho 64*8=512
Vậy n^12-n^8-n^4+1 chia hết cho 512
XIN TLHN VÀ * NHÉ
