Bài 2:
Ta có: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow AB = \dfrac{2}{3}AC$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^ = \left(\dfrac{2}{3}AC\right)^2 + AC^2 = \dfrac{13}{9}AC^2$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AC\sqrt{13}}{3}$
$\Rightarrow AC = \dfrac{3BC\sqrt{13}}{13} = \dfrac{3.26\sqrt13}{13} = 6\sqrt{13}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AC^2 = CH.BC \Rightarrow CH = \dfrac{AC^2}{BC} = \dfrac{(6\sqrt{13})^2}{26} = 18$
$\Rightarrow BH = BC - CH = 26 - 18 = 8$
Bài 3:
Đặt $S_{ABH} = \dfrac{1}{2}BH.CH = 54; \, S_{ACH} = \dfrac{1}{2}CH.AH = 96$
Ta có:
$\dfrac{1}{2}BH.AH.\dfrac{1}{2}CH.AH = 54.96$
$\Leftrightarrow (BH.CH).AH^2 = 54.96.4$
$\Leftrightarrow AH^4 = 54.96.4$
$\Rightarrow AH = \sqrt[4]{54.96.4} = 12$
Mặt khác: $S_{ABH} + S_{ACH} = 54 +96 = 150$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}BH.AH + \dfrac{1}{2}CH.AH = 150$
$\Leftrightarrow AH.(BH +CH) = 150.2 = 300$
$\Leftrightarrow AH.BC = 300$
$\Leftrightarrow BC = \dfrac{300}{AH} = \dfrac{300}{12} = 25$
Bài 4:
a) Xét $ΔADK$ và $ΔABE$ có:
$\widehat{D} = \widehat{B}$ (Hai góc của hình vuông $ABCD$)
$\widehat{DAK}= \widehat{BAE}$ (cùng phụ $\widehat{DAE}$)
$AD = AB$ (Hai cạnh của hình vuông)
Do đó $ΔADK=ΔABE$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
b) Ta có: $ΔADK=ΔABE$ (câu a)
$\Rightarrow AK = AE$ (Hai cạnh tương ứng)
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔAKF$ vuông tại $A$, đường cao $AD$, ta được:
$\dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AK^2} + \dfrac{1}{AF^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AE^2} + \dfrac{1}{AF^2}$
