Đáp án: `A=99,99`
Giải thích các bước giải:
Xét trường hợp tổng quát:
`\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}` $(n∈N*)$
`=\sqrt{\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}}`
`=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+n^2+2n+1+n^2}{[n(n+1)^2]}}`
`=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+2n(n+1)+1}{[n(n+1)]^2}}`
`=\sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}}`
`=|\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}|`
`=1+\frac{1}{n(n+1)}`
`=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}`
Do vậy:
`A=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}`
`=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}`
`=(1+1+....+1)+\frac{1}{1}-\frac{1}{100}`
Xét biểu thức trong dấu ngoặc:
Số số 1 là: $(99-1)÷1+1=99$
Vậy biểu thức trong dấu ngoặc có giá trị là:
$99.1=99$
Ta có: `A=99+1-\frac{1}{100}=100-\frac{1}{100}=\frac{9999}{100}=99,99`
