Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo BD và AC trong tứ giác ABCD
Áp dụng bđt trong tam giác vào ΔABO ; ΔADO ; ΔBCO ; ΔDCO ta có
AB < AO + BO
AD < AO + DO
BC < BO + CO
DC < DO + CO
=> AD + AB + BC + DC < AO + BO + AO + DO + BO + CO + DO + CO
=> AD + AB + BC + DC < 2 ( AO + CO + BO + DO)
=> 1/2 ( AD + AB + BC + DC < AC + BD (1)
Áp dụng bđt trong tam giác vào ΔABC ; ΔADB; Δ DCB ; ΔADC có
AC < AB + BC
BD < AD + AB
BD < CD + DB
AC < AD + DC
=> 2 ( AC + BD)< 2 ( AB + BC + AD + DC )
=> AC + BD < AB + BC + AD + DC (2)
Từ (1) vfa (2)
=> 1/2 ( AD + AB + BC + DC < AC + BD < AB + BC + AD + DC
⇒ trong một tứ giác, tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.
