Đáp án:

$\begin{array}{l}
1)a)1 + a\sqrt a \\
 = {1^3} + {\left( {\sqrt a } \right)^3}\\
 = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a  + a} \right)\\
b)a\sqrt a  - b\sqrt b \\
 = {\left( {\sqrt a } \right)^3} - {\left( {\sqrt b } \right)^3}\\
 = \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {a + \sqrt {ab}  + b} \right)\\
2)a)7 + \sqrt 5  = 11 - 4 + \sqrt 5 \\
 = 11 - \left( {4 - \sqrt 5 } \right)\\
Do:4 - \sqrt 5  > \sqrt 2 \\
 \Rightarrow 7 + \sqrt 5  > 11 - \sqrt 2 \\
b)\sqrt {2005}  + \sqrt {2007}  - 2\sqrt {2006} \\
 = \sqrt {2007}  - \sqrt {2006}  - \left( {\sqrt {2006}  - \sqrt {2005} } \right)\\
 = \dfrac{{2007 - 2006}}{{\sqrt {2007}  + \sqrt {2006} }} - \dfrac{{2006 - 2005}}{{\sqrt {2006}  + \sqrt {2005} }}\\
 = \dfrac{1}{{\sqrt {2007}  + \sqrt {2006} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2006}  + \sqrt {2005} }} < 0\\
 \Rightarrow \sqrt {2005}  + \sqrt {2007}  - 2\sqrt {2006}  < 0\\
 \Rightarrow \sqrt {2005}  + \sqrt {2007}  < 2\sqrt {2006} \\
c)5\sqrt 5  - 2\sqrt 3 \\
 = \sqrt {75 - 20\sqrt {15}  + 12} \\
 = \sqrt {87 - 20\sqrt {15} } \\
6 + 4\sqrt 5  = \sqrt {36 + 48\sqrt 5  + 80} \\
 = \sqrt {116 + 48\sqrt 5 }  > \sqrt {87 - 20\sqrt {15} } \\
 \Rightarrow 5\sqrt 5  - 2\sqrt 3  < 6 + 4\sqrt 5 \\
d)3 + 2\sqrt 3  = \sqrt {9 + 12\sqrt 3  + 12} \\
 = \sqrt {21 + 12\sqrt 3 } \\
2\sqrt 6  + 5 = \sqrt {24 + 20\sqrt 6  + 25} \\
 = \sqrt {49 + 20\sqrt 6 }  > \sqrt {21 + 12\sqrt 3 } \\
 \Rightarrow 3 + 2\sqrt 3  < 2\sqrt 6  + 5
\end{array}$