a) Ta có:
$ΔABC$ vuông cân tại $A$
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow \begin{cases}MA = MB = MC\\AM\perp BC\\\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{BAM} = \widehat{CAM} = 45^o\end{cases}$
$\widehat{MBH} = \widehat{MCI}$ (so le trong)
mà $\widehat{MCI} = \widehat{MAD}$ (cùng phụ $\widehat{ADC}$)
nên $\widehat{MBH} = \widehat{MAD}$
$\Rightarrow \widehat{HBA} = \widehat{IAC}$
Xét $ΔABH$ và $ΔCAI$ có:
$\widehat{HBA} = \widehat{IAC} \, (cmt)$
$\widehat{BHA} = \widehat{AIC} = 90^o$
$AB = AC \, (gt)$
Do đó $ΔABH=ΔCAI$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow AH = CI$ (Hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: $ΔABC$ vuông cân tại $A$
$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow AM$ là trung trực của $BC$
$\Rightarrow \widehat{KBM} = \widehat{KCM}$
mà $\widehat{KBM} = \widehat{MAD}$ $(\widehat{MBH} = \widehat{MAD})$
nên $\widehat{KCM} = \widehat{MAD}$
Xét $ΔMAD$ và $ΔMCK$ có:
$\widehat{DMA} = \widehat{KMC} = 90^o$
$\widehat{MAD} = \widehat{KCM} \, (cmt)$
$AM = MC$ (câu a)
Do đó $ΔMAD = ΔKMC \, (g.c.g)$
$\Rightarrow MD = MK$
$\Rightarrow ΔMDK$ vuông cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MDK} = \widehat{MKD} = 45^o$
$\Rightarrow \widehat{MDK} = \widehat{MCA} = 45^o$
$\Rightarrow DK//AC$
c) Ta có:
$AH = CI \, (gt)$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔIAC$ vuông tại $I$, ta được:
$AI^2 + CI^2 = AC^2$
$\Leftrightarrow AI^2 + AH^2 = AC^2$
Do $AC$ không đổi
nên $AC^2$ không đổi
hay $AI^2 + AH^2$ không đổi
