Đáp án:
1. $D (−3; −5) ; A (−1; 5) ; B (−3; −1)$
2.$ a, BC = \sqrt{2}$
b, $H (−2; 1)$
c, \(\left[ \begin{array}{l}A(-3;0)\\A(-1;2)\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
1. Đặt $AB = a$. Xét $∆DCM$ vuông tại $C$ ta có
$DM² = CM² + CD² = \dfrac{5a^2}{4}$
⇒ $DM = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ ⇒ $\cos CMD =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Gọi $\vec{n}$ = $(a; b)$ là vecto pháp tuyến của đường thẳng $BC$, ta có
$\cos CMD =\dfrac{|a-b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
⇔ $3a² − 10ab + 3b² = 0$ ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a=3b\\b=3a\end{array} \right.\)
Với $a = 3b$ ⇒ $\vec{n}$ $= (3; 1) ⇒ CB : 3x + y − 6 = 0$
Phương trình đường thẳng $CD$ đi qua $C và ⊥ BC ⇒ CD$ :$ x−3y−12 = 0 ⇒ D (−3; −5)$
Phương trình đường thẳng $AD$ đi qua $D$ và $// BC ⇒ AD$ :$ 3x + y + 14 = 0 có AD // (d)$ ⇒ loại
Với $b = 3a$ ⇒ $\vec{n}$ = $(1; 3)$ ⇒ $BC : x + 3y + 6 = 0$
Phương trình đường thẳng $CD$ đi qua $C$ và $⊥ BC ⇒ CD : 3x − y − 12 = 0 ⇒ D (5; 3)$
Phương trình đường thẳng $AD$ đi qua $A$ và $// BC ⇒ AD : x + 3y − 14 = 0 ⇒ A (−1; 5)$
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và $// CD ⇒ AB : 3x − y + 8 = 0 ⇒ B (−3; −1)$
2. Phương trình đường thẳng BC đi qua B và $⊥ (d) ⇒ BC : x + y + 1 = 0$
C là giao điểm của BC và (d1) ⇒ $C (2; −3) ⇒ BC =$ $\sqrt{2}$
H là giao điểm của (d) và BC $⇒ H (−2; 1)$
Diện tích tam giác ABC là S = $\dfrac{1}{2}AH.BC=1$ ⇒ AH = $\sqrt{2}$
Điểm A ∈ (d) ⇒ $A (a; a + 3)$
⇒$ AH² = (a + 2)² + (a + 2)² = 2$ ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}a=-3\\a=-1\end{array} \right.\) ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}A(-3;0)\\A(-1;2)\end{array} \right.\)
