Đáp án: $MN=10$
Giải thích các bước giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $AB<CD$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD, BC\to MN$ là đường trung bình $\Diamond ABCD$
$\to MN=\dfrac12(CD+AB)$
$Gọi $AC\cap BD=O$
Vì $ABCD$ là hình thang cân $\to OD=OC, OA=OB$
Mà $AC\perp BD\to \Delta OCD, \Delta OAB$ là tam giác vuông cân tại $O$
Kẻ $BE$ là đường cao của hình thang $ABCD\to ABEH$ là hình chữ nhật
Mà $AH=BE, AD=BC\to DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{BC^2-BE^2}=CE$
Lại có $\widehat{ACH}=\widehat{OCD}=45^o, \widehat{AHC}=90^o$
$\to\Delta HAC$ vuông cân tại $H$
$\to HA=HC$
$\to HC=10\to DH=CD-CH=DC-10$
$\to DH=CE=DC-10$
Lại có $DH=CD=\dfrac12(CD-HE)=\dfrac12(CD-AB)$
$\to \dfrac12(CD-AB)=CD-10$
$\to CD-\dfrac12(CD-AB)=10$
$\to \dfrac12(CD+AB)=10$
$\to MN=\dfrac12(CD+AB)=10$
