Đáp án:
$ x \in \left\{ { - 1;0} \right\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$g\left( x \right) = {x^2} + x + 1 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x \Rightarrow \exists \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\\
= \dfrac{{x\left( {{x^2} + x + 1} \right) + {x^2} + x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\\
= \dfrac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\\
= x + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + x + 1}}
\end{array}$
Để với $x\in Z$ sao cho $f(x)$ chia hết cho $g(x)$ thì:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \in Z \Leftrightarrow x + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + x + 1}} \in Z\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + x + 1}} \in Z\left( {x \in Z} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 1} \right) \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\\
\Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 1\left( {{x^2} + x + 1 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} + x = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $ x \in \left\{ { - 1;0} \right\}$ thỏa mãn đề.
