Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) $ 4^{2011} + 4^{2012} + 4^{2013}$
$ = 4^{2010}(4 + 4² + 4³)$
$ = 4^{2010}(4 + 16 + 64)$
$ = 84.4^{2010}$ chia hết cho 84
2) Ta có :
$ 2(x² + y² - xy) = x² + y² + (x - y)² ≥ 0 (1)$
$ x² + y² - 2xy = (x - y)² ≥ 0 (2)$
Lấy $(1).(2) : 2(x² + y² - xy)(x² + y² - 2xy) ≥ 0$
$ ⇔ (x² + y² - xy)(x² + y² - 2xy) ≥ 0$
$ ⇔ (x² + y²)² + 2x²y² - 3xy(x² + y²) ≥ 0$
$ ⇔ x^{4} + y^{4} + 4x²y² ≥ 3xy(x² + y²)$
$ ⇔ \dfrac{x²}{y²} + \dfrac{y²}{x²} + 4 ≥ 3(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x})$ (Chia 2 vế $BĐT$ cho $x²y² > 0$)
Dấu $'='$ xảy ra khi $ x = y$
3)Vẽ đường phân giác $CE$ của $ΔABC (E ∈BD)$
Theo tính chất phân giác và tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
$ \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{CB}{AB} ⇔ \dfrac{CD}{AD + CD} = \dfrac{CB}{AB + CB} $
$ ⇒ CD = \dfrac{CB(AD + CD)}{AB + CB} = \dfrac{CB.AC}{AB + CB} = \dfrac{5.20}{20 + 5} = 4(cm) $
$ \dfrac{BE}{DE} = \dfrac{CB}{CD} ⇔ \dfrac{BE + DE}{DE} = \dfrac{CB + CD}{CD} $
$ ⇔ \dfrac{BD}{DE} = \dfrac{5 + 4}{4} = \dfrac{9}{4} ⇒ BD = \dfrac{9DE}{4} (1)$
Lại có $ ∠CBD = \dfrac{∠B}{2} = \dfrac{∠C}{2} = ∠ECD$
$ ⇒ ΔBCD ≈ ΔCED (g.g)$ (có chung $∠D$)
$ ⇒ \dfrac{BD}{CD} = \dfrac{CD}{DE} ⇒ BD = \dfrac{CD²}{DE} = \dfrac{16}{DE} (2)$
Lấy $(1).(2) : BD² = \dfrac{9DE}{4}.\dfrac{16}{DE} = 36 ⇒ BD = 6 (cm)$
