1) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Leftrightarrow BC^2 = \dfrac{4}{25}BC^2 + AC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{21}{25}BC^2 = AC^2$
$\Rightarrow AC = \dfrac{\sqrt{21}}{5}BC$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB.AC = AH.BC$
$\Leftrightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC}$
$\Leftrightarrow 12 = \dfrac{\dfrac{2}{5}BC.\dfrac{\sqrt{21}}{5}BC}{BC} = \dfrac{2\sqrt{21}}{25}BC$
$\Rightarrow BC = \dfrac{50\sqrt{21}}{7} \, cm$
$\Rightarrow AB = \dfrac{20\sqrt{21}}{7} \, cm$
$\Rightarrow AC = 30 \, cm$
$\Rightarrow P_{ABC} = \dfrac{70\sqrt{21} + 210}{7} \, cm$
2) Ta có: $∆AHC \sim ∆BHA \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AH}{BH}$
$\Rightarrow \dfrac{AC^2}{AB^2} = \dfrac{AH^2}{BH^2} = \dfrac{BH.HC}{BH^2} = \dfrac{HC}{BH}$
Vậy $\dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{BH}{HC}$
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AJ.AB = AH^2$
$AI.AC = AH^2$
Do đó $AJ.AB = AI.AC$
c) Xét tứ giác $AIHJ$ có:
$\widehat{A} =\widehat{I} = \widehat{J} = 90^o$
Do đó $AHIJ$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{AJI} = \widehat{BAH}$
mà $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)
nên $\widehat{AJI} = \widehat{ACB}$
