$f(x) = \dfrac{2x - 1}{3 - x}$
$TXĐ: D = R\backslash\left\{3\right\}$
$+)$ Chọn $x_2,\, x_1 \in D \, (x_2 > x_1 > 3)$
Xét $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{\dfrac{2x_2 - 1}{3 - x_2} - \dfrac{2x_1 - 1}{3 - x_1}}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{(2x_2 - 1)(3 - x_1) - (2x_1 - 1)(3 - x_2)}{(x_2 - x_1)(3 - x_1)(3 - x_2)}$
$= \dfrac{5x_2 - 5x_1}{(x_2 - x_1)(3 - x_1)(3 - x_2)}$
$= \dfrac{5}{(3 - x_1)(3 - x_2)}$
Do $x_2 > x_1 > 3$
nên $\begin{cases}3 - x_2 < 0\\3 - x_1 < 0\end{cases}$
$\Rightarrow (3 - x_1)(3 - x_2) > 0$
Do đó $\dfrac{5}{(3 - x_1)(3 - x_2)} > 0$
Vậy $f(x)$ đồng biến trên $(3; + \infty)$ $(1)$
$+)$ Chọn $x_2,\, x_1 \in D \, (3 > x_2 > x_1)$
Xét $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{5}{(3 - x_1)(3 - x_2)}$
Do $3 > x_2 > x_1$
nên $\begin{cases}3 - x_2 > 0\\3 - x_1 > 0\end{cases}$
$\Rightarrow (3 - x_1)(3 - x_2) > 0$
Do đó $\dfrac{5}{(3 - x_1)(3 - x_2)} > 0$
Vậy $f(x)$ đồng biến trên $(- \infty; 3)$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow$ Biểu thức luôn dương với mọi x khác 3
