Ta có
$f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$
và
$g(x,y) = (x+y)(x^3 + y^3) = x^4 + xy^3 + x^3y + y^4$
Do hai đa thức đều bậc 4, mà lại có $f(x,y)$ là ước của $g(x,y)$, suy ra
$g(x,y) = k.f(x,y)$
Mà hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của $x$ và $y$ bằng $1$. Suy ra
$g(x,y) = f(x,y)$
$\Leftrightarrow x^4 + xy^3 + x^3y + y^4 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4$
$\Leftrightarrow xy(x^2 + y^2) = 2x^2 y^2$
$\Leftrightarrow xy(x^2 + y^2 - 2xy) = 0$
$\Leftrightarrow xy(x-y)^2 = 0$
Vậy $x = 0$ hoặc $y = 0$ hoặc $x = y$
TH1: $x = 0$
Khi đó ta có
$x^2 + y^2 = y^2$
và
$(x+y)(x^3 + y^3) = y.y^3 = y^4 \neq y^2$
Vậy ko xảy ra đẳng thức
TH2: $y = 0$
CMTT trường hợp trên ta cx ko có đẳng thức
TH3: $x = y$
Khi đó
$x^2 + y^2 = 2x^2$
và
$(x+y)(x^3 + y^3) = 2x . 2x^3 = 4x^4 \neq 2x^2$
Vậy ta cx ko có đẳng thức.
