Giả sử phản chứng rằng $\sqrt{3}$ là một số hữu tỉ.
Khi đó, tồn tại các số nguyên $m, n$, $n \neq 0$ sao cho
$\sqrt{3} = \dfrac{m}{n}, UCLN(m,n) = 1$
Từ đẳng thức đầu suy ra
$\dfrac{m^2}{n^2} = 3$
$\Leftrightarrow m^2 = 3n^2$
Suy ra $m^2$ chia hết cho 3.
Mặt khác, do $3$ là số nguyên tố nên ta phải có $m$ chia hết cho $3$. Vậy $m = 3k$ với $k$ là một số nguyên nào đó. Thay vào ta có
$(3k)^2 = 3n^2$
$\Leftrightarrow n^2 = 3k^2$
Lập luận tương tự ta cũng suy ra $n$ chia hết cho $3$.
Vậy $3$ là ước chung của $m$ và $n$ (điều này là vô lý do $UCLN(m,n) = 1$).
Vậy $\sqrt{3}$ ko phải là số hữu tỉ.
