Ta có
$A = x^3 + y^3 + xy$
$= (x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy$
$= x^2 + y^2$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$x^2 + y^2 \geq \dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x = y$ và $x + y = 1$ hay $x = y = \dfrac{1}{2}$
Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{1}{2}$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.