Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được: (Hoặc "Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ở bài trước")
$3(b^2 + 2a^2) = (1^2 +1^2 + 1^2)(b^2 + a^2 + a^2) \geq (b + a + a)^2 = (b + 2a)^2$
$\Leftrightarrow b^2 + 2a^2 \geq \dfrac{(b + 2a)^2}{3}$
$\Rightarrow \sqrt{b^2 + 2a^2} \geq \dfrac{b + 2a}{\sqrt3}$
$\Rightarrow \dfrac{c\sqrt{b^2 + 2a^2}}{abc} \geq \dfrac{bc + 2ac}{\sqrt3.abc}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} \geq \dfrac{bc + 2ac}{\sqrt3.abc}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} \geq \dfrac{ca+ 2ba}{\sqrt3.abc}$
$\dfrac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \dfrac{ab + 2bc}{\sqrt3.abc}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$\dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \dfrac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \dfrac{bc + 2ac}{\sqrt3.abc} + \dfrac{ca+ 2ba}{\sqrt3.abc}+ \dfrac{ab + 2bc}{\sqrt3.abc}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \dfrac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \dfrac{bc + 2ac + ca + 2ba + ab + 2bc}{\sqrt3.abc} = \dfrac{3(ab + bc + ca)}{\sqrt3.abc} = \dfrac{3abc}{\sqrt3.abc} = \sqrt3$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 3$
