Lời giải:
1) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\, cm$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$+)\quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{6^2}{10} = \dfrac{18}{5}\, cm$
$+)\quad BC = BH + CH$
$\Rightarrow CH = BC - BH = 10 - \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5}\, cm$
$+)\quad AB.AC = AH.BC$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{6.8}{10} = \dfrac{24}{5}\, cm$
2a) Xét $∆DCE$ và $∆ACD$ có:
$\widehat{C}:$ góc chung
$\widehat{CDE} = \widehat{CAD}\,(gt)$
Do đó $∆DCE\sim ∆ACD\,(g.g)$
2b) Xét $∆EKC$ và $∆BAC$ có:
$\widehat{K} = \widehat{A} = 90^o$
$\widehat{C}:$ góc chung
Do đó $∆EKC\sim ∆BAC\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CK}{CA}$
$\Rightarrow CE.CA = CK.CB$
2c) Xét tứ giác $ABCF$ có:
$\widehat{BAC} = \widehat{BFC} = 90^o$
Do đó $ABCF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CAF} = \widehat{CBF}$ (cùng nhìn cạnh $CF$)
mà $\widehat{CBF} = \widehat{CFE}$ (cùng phụ $\widehat{KFB}$)
nên $\widehat{CAF} = \widehat{CFE}$
Xét $∆CAF$ và $∆CFE có:
$\widehat{CAF} = \widehat{CFE}$ $(cmt)$
$\widehat{C}:$ góc chung
Do đó $∆CAF\sim ∆CFE\,(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CA}{CF} = \dfrac{CF}{CE}$
$\Rightarrow CF^2 = CE.CA$ $(1)$
Ta lại có: $∆DCE\sim ∆ACD$ (câu 2a)
$\Rightarrow \dfrac{CE}{CD} = \dfrac{CD}{CA}$
$\Rightarrow CD^2 = CE.CA$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow CD = CF$
$\Rightarrow ∆CDF$ cân tại $C$
