Xét tứ giác $BB'C'C$ có:
$BB'\perp d \, (gt)$
$CC'\perp d\, (gt)$
$\Rightarrow BB'C'C$ là hình thang vuông tại $B'$ và $C'$
Ta lại có: $MM'//BB'//CC' \, (\perp d)$
$BM = MC\, (gt)$
$\Rightarrow MM'$ là đường trung bình của hình thang $BB'C'C$
$\Rightarrow 2MM' = BB' + CC'$
Ta có: $G$ là trọng tâm, $AM$ là trung tuyến
$\Rightarrow AG = 2GM$
Lại có: $AI = IG$
$\Rightarrow AI = IG = GM$
Chứng minh các đường trung bình trong hình thang tương tự như trên, ta được:
$2II' = AA' + GG' \Rightarrow AA' = 2II' - GG'$
$2GG' = II' + MM' \Rightarrow II' = 2GG' - MM'$
Do đó ta được:
$AA' + BB' + CC'$
$= 2II' - GG' + 2MM'$
$= 2(2GG' - MM') - GG'+ 2MM'$
$= 3GG'$ (đpcm)