Đáp án: $(x; y; z) = (0; 0; 0); (3; 4; 5)$

Giải thích các bước giải:

$ 12(x + y) = 7xy (1); 20(y + z) = 9yz (2); 15(z + x) = 8zx (3)$

- Nếu $ x = 0; (1) ⇔ y = 0; (2) ⇔ z = 0$ thỏa $(3)$

Vậy $(x; y; z) = (0; 0; 0)$ là nghiệm

- Xét $x; y; z \neq0$ Đặt $: t = \dfrac{1}{x}; u = \dfrac{1}{y}; v = \dfrac{1}{z}$

$ HPT$ tương đương :

$ t + u = \dfrac{7}{12} (4); u + v = \dfrac{9}{20} (5); v + t = \dfrac{8}{15} (6)$

$(4) + (5) + (6) :$

$ 2(t + u + v) = \dfrac{94}{60} ⇔ t + u + v = \dfrac{47}{60} (7) $

$ (7) - (4) : v = \dfrac{47}{60} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{1}{5} ⇒ z = 5$

$ (7) - (5) : t = \dfrac{47}{60} - \dfrac{9}{20} = \dfrac{1}{3} ⇒ x = 3$

$ (7) - (6) : u = \dfrac{47}{60} - \dfrac{8}{15} = \dfrac{1}{4} ⇒ y = 4$

Đáp án: $(x;y;z)∈\{(0;0;0);(3;4;5)\}$

Giải thích các bước giải:

Dễ thấy bộ 3 số $(0;0;0)$ thỏa mãn đề bài.

Nếu 2 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 1 phương trình, ta cũng được số còn lại bằng 0.

Nếu 1 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 2 phương trình, ta cũng được 2 số còn lại bằng 0.

Do vậy, ta sẽ chỉ xét trường hợp 3 số khác 0

Ta có:

`12(x+y)=7xy⇔\frac{x+y}{xy}=\frac{7}{12}⇔\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}`

`20(y+z)=9yz⇔\frac{y+z}{yz}=\frac{9}{20}⇔\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{9}{20}`

`15(x+z)=8xz⇔\frac{x+z}{xz}=\frac{8}{15}⇔\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{8}{15}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=\frac{7}{12}+\frac{9}{20}+\frac{8}{15}`

`⇒2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{30}`

`⇒\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60}`

Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{7}{12}`

`⇒\frac{1}{z}=\frac{1}{5}⇒z=5`

Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{9}{20}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{9}{20}`

`⇒\frac{1}{x}=\frac{1}{3}⇒x=3`

Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{8}{15}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{47}{60}-\frac{8}{15}`

`⇒\frac{1}{y}=\frac{1}{4}⇒y=4`