Đáp án:
$f(x)$ nghịch biến trên $(1;+\infty)$
Giải thích các bước giải:
$f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$
$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{1\right\}$
Chọn $x_1,\,x_2 \in (1;+\infty),\, x_1 \ne x_2$
Xét $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
$= \dfrac{\dfrac{x_2+1}{x_2-1} - \dfrac{x_1+1}{x_1-1}}{x_2 - x_1}$
$ = \dfrac{(x_2 + 1)(x_1 - 1) - (x_1 + 1)(x_2 - 1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)(x_2 - x_1)}$
$ = \dfrac{2(x_1 - x_2)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)(x_2 - x_1)}$
$= \dfrac{-2}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)}$
Do $x_1,\; x_2 \in (1;+\infty)$
nên $\begin{cases}x_1 - 1 > 0\\x_2 - 1 > 0\end{cases} \Rightarrow (x_2 - 1)(x_1 - 1) > 0$
$\Rightarrow \dfrac{-2}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} < 0$
Hay $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < 0$
Vậy $f(x)$ nghịch biến trên $(1;+\infty)$
