Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét `ΔAHB` vuông tại `H`
`AH^2=AE.AB\ (1)`
Xét `ΔAHC` vuông tại `H`
`AH^2=AF.AC\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒AE.AB=AF.AC`
b) `\frac{AC}{sin B}=\frac{AB}{sin C}`
`⇒ AC.sin C=AB.sinB`
`⇔ AH=AH`
`⇒ đpcm`
c) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
`\Delta ABC` ta có:
`AB.AC = BC.AH => BC = \frac{AB.AC}{AH}`
`\Delta AHB` ta có:
`BH^2 = AB.BE => BE = \frac{BH^2}{AB}`
`\Delta AHC` ta có:
`CH^2 = AC.CF => CF = \frac{CH^2}{AC}`
Khi đó: `BE.CF = \frac{BH^2}{AB}.\frac{CH^2}{AC}`
`<=> BE.CF = \frac{AH^4}{AB.AC}` (vì `AH^2 = BH.CH)`
Vậy `BC.BE.CF = \frac{AB.AC}{AH}.\frac{AH^4}{AB.AC}`
`<=> BC.BE.CF = AH^3` (đpcm)
d) Xét `ΔABC` vuông tại `A:`
`AM` là trung tuyến nên `BC=2AM`
`ΔACM` cân tại `M` nên `\hat{C}=\alpha⇒\hat{AMH}=\beta=2\alpha` (góc ngoài của `Δ` cân)
Ta có: `(sin \alpha+cos \alpha)^2=sin^2 \alpha+cos^2 \alpha+2sin \alpha.cos \alpha=1+2sin \alpha.cos \alpha`
`=1+2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=1+2\frac{AB.AC}{BC^2}`
Mà `AB.AC=AH.BC` (cùng bằng `2S_{ΔABC})` nên
`(sin \alpha+cos \alpha)^2=1+2\frac{AH.BC}{BC^2}=1+2\frac{AH}{BC}=1+\frac{AH}{BM}=1+sin \beta`
Vậy `(sin \alpha+cos \alpha)^2=1+sin \beta`
