Đáp án:
Ta có nhận xét :
`2(a^8 + b^8) ≥ (a^3 + b^3)(a^5 + b^5)` `(1)`
Cm :
Ta có :
` 2(a^8 + b^8) - (a^3 + b^3)(a^5 + b^5)`
`= 2a^8 + 2b^8 - a^8 - b^3a^5 - b^5a^3 + b^8`
`= a^8 + b^8 - b^3a^5 - b^5a^3`
`= (a^8 - b^3a^5) + (b^8 - b^5a^3)`
`= a^5(a^3 - b^3) + b^5(b^3 - a^3)`
`= a^5(a^3 - b^3) - b^5(a^3 - b^3)`
`= (a^5 - b^5)(a^3 - b^3)`
Giả sử `a ≥ b`
`=> a^5 - b^5 ≥ 0`
`a^3 - b^3 ≥ 0`
`=> (a^5 - b^5)(a^3 - b^3) ≥ 0`
`=> đpcm`
Qua lại vấn đề chính
Áp dụng Nhận xét ở `(1)`
Ta có :
`2(a^8 + b^8) ≥ (a^3 + b^3)(a^5 + b^5)` `(1)`
`2(b^8 + c^8) ≥ (b^3 + c^3)(b^5 + c^5)` `(2)`
`2(c^8 + a^8) ≥ (c^3 + a^3)(c^5 + a^5)` `(3)`
Cộng (1) , (2) và (3)
`=> 2(a^8 + b^8) + 2(b^8 + c^8) + 2(c^8 + a^8) ≥ (a^3 + b^3)(a^5 + b^5) + (b^3 + c^3)(b^5 + c^5) + (c^3 + a^3)(c^5 + a^5)`
`=> 4(a^8 + b^8 + c^8) ≥ (a^8 + b^8 + c^8) + (a^3 + b^3 + c^3)(a^5 + b^5 + c^5)` `(4)`
`=> 3(a^8 + b^8 + c^8) ≥ (a^3 + b^3 + c^3)(a^5 + b^5 + c^5)`
`=> đpcm`
Giải thích các bước giải:
Chỗ (4) đó vì sao được như thế
Ta có :
`(a^3 + b^3)(a^5 + b^5) + (b^3 + c^3)(b^5 + c^5) + (c^3 + a^3)(c^5 + a^5)`
`= a^8 + b^3a^5 + b^5a^3 + b^8 + b^8 + b^5c^3 + b^3c^5 + c^8 + c^8 + c^5a^3 + a^5c^3 + a^8`
`= (a^8 + b^8 + c^8) + (a^8 + a^3b^5 + a^3c^5) + (b^3a^5 + b^8 + b^3c^5) + (c^3a^5 + c^3b^5 + c^8)`
`= (a^8 + b^8 + c^8) + a^3(a^5 + b^5 + c^5) + b^3(a^5 + b^5 + c^5) + c^3(a^5 + b^5 + c^5) `
`= (a^3 + b^3 + c^3) + (a^3 + b^3 + c^3)(a^5 + b^5 + c^5)`
