Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) ĐKXĐ $: 7x + y ≥ 0; 2x + y ≥ 0$
$ \sqrt{7x + y} + \sqrt{2x + y} = 5 (1)$
$ \sqrt{2x + y} + x - y = 1 (2)$
Nếu $ x = 0 $ thì từ $(1) ⇒ 2\sqrt{y} = 5$ không thỏa $(2)$
$⇒ x \neq 0 ⇒ \sqrt{7x + y} - \sqrt{2x + y} \neq 0$
$ (1) ⇔ 5(\sqrt{7x + y} - \sqrt{2x + y}) = (7x + y) - (2x + y)$
$ ⇔ \sqrt{7x + y} - \sqrt{2x + y} = x (3)$
$(1) - (3) : 2\sqrt{2x + y} = 5 - x (4)$
$ 2.(2) - (4) : 2x - 2y = x - 3 ⇔ x = 2y - 3$
Thay vào $(2) : \sqrt{5y - 6} = 4 - y ( \dfrac{6}{5} ≤ y ≤ 4)$
$ ⇔ 5y - 6 = 16 - 8y + y² ⇔ y² - 13y + 22 = 0 ⇔ y = 2$
(loại nghiệm $ y = 11$)
Vậy $HPT$ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 2)$
2)ĐKXĐ $ : x ≥ 1; y ≥ 1$
Áp dụng $BĐT $ Cô si ta có:
$\sqrt{x - 1} ≤ \dfrac{1}{2}[(x - 1) + 1] = \dfrac{1}{2}x$
$ ⇔ y\sqrt{x - 1} ≤ \dfrac{1}{2}xy (1)$
Dấu $'=' ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2$
Tương tự $: x\sqrt{y - 1} ≤ \dfrac{1}{2}xy (2)$
Dấu $'=' ⇔ y - 1 = 1 ⇔ y = 2$
$ (1) + (2) : x\sqrt{y - 1} + y\sqrt{x - 1} ≤ xy$
Vậy $PT$ thứ hai chỉ xảy ra khi đồng thời
xảy ra dấu $'='$ ở $(1); (2) ⇔ x = y = 2$
Thay vào $PT$ thứ nhất thấy thỏa mãn
Vậy $(x; y) = (2; 2)$ là nghiệm duy nhất của hệ.
