Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Theo bài ra ta có: `a_{n}>0∀n⇒\frac{1}{a_{n}}>0∀n`
Ta có: `a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}(1)`
Do vậy:
$a_1^2=25$
`a_2^2=a_1^2+2+\frac{1}{a_1^2}`
`a_3^2=a_2^2+2+\frac{1}{a_2^2}`
$..............$
`a_{51}^2=a_{50}^2+2+\frac{1}{a_{50}^2}`
Thay thế lần lượt , ta được:
`a_{51}^2=25+2+2+....+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+....+\frac{1}{a_{50}^2})` (50 số 2)
`>25+2.50=125>121`
`⇒a_{51}>11` (đpcm)
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được:
`a_{101}^2=25+2+2+....+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+....+\frac{1}{a_{100}^2})` (100 số 2)
`>25+2.100=225⇒a_{101}^2>15(2)`
Từ `a_{51}>11⇒\frac{1}{a_{51}}<\frac{1}{11}`
Theo công thức $(1)$, ta được: $a_{n+1}^2>a_{n}^2⇒a_{n+1}>a_{n}>0$
Do vậy: $a_1<a_2<...<a_{101}$
`⇒\frac{1}{a_1}>\frac{1}{a_2}>...>\frac{1}{a_{101}}`
Ta có: `\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+....+\frac{1}{a_{100}^2}`
`=(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+....+\frac{1}{a_{50}^2})+(\frac{1}{a_{51}^2}+\frac{1}{a_{52}^2}+....+\frac{1}{a_{100}^2})`
`<(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_1^2}+....+\frac{1}{a_1^2)})+(\frac{1}{a_{51}^2}+\frac{1}{a_{51}^2}+....+\frac{1}{a_{51}^2})` (50 số `\frac{1}{a_1^2}`; 50 số `\frac{1}{a_{51}^2}`)
`=50.\frac{1}{a_1^2}+50.\frac{1}{a_{51}^2}`
`<50.\frac{1}{25}+50.\frac{1}{11^2}`
`=2+\frac{50}{121}`
`<3,01`
Ta có:
`a_{101}^2=25+2+2+....+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+....+\frac{1}{a_{100}^2})` (100 số 2)
`<25+100.2+3,01=228,01⇒a_{101}<15,1(3)`
Từ $(2);(3)⇒15<a_{101}<15,1$ (đpcm)
