$\sin45^o=\sin(2.22,5^o)=2\sin22,5^o.\cos22,5^o$

$\Rightarrow \sin22,5^o.\cos22,5^o=\dfrac{\sqrt2}{4}$

$\Leftrightarrow (\sin22,5^o.\cos22,5^o)^2=\dfrac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \sin^222,5^o.\cos^222,5^o=\dfrac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \sin^222,5^o(1-\sin^222,5^o)=\dfrac{1}{8}$

Đặt $x=\sin^222,5^o$

$\Rightarrow x(1-x)=\dfrac{1}{8}$

$\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{8}=0$

$\Leftrightarrow x=\sin^222,5^o=\dfrac{2\pm\sqrt2}{4}$

Ta có $22,5^o<45^o\Rightarrow \sin22,5^o<\sin45^o$

$\sin45^o\approx 0,7$

$+)\sin^222,5^o=\dfrac{2+\sqrt2}{4}\Leftrightarrow \sin22,5^o\approx 0,92$ (Loại)

$+) \sin^22,5^o=\dfrac{2-\sqrt2}{4}$

$\Leftrightarrow \sin22,5^o\approx 0,383$ (TM)

$\Rightarrow \cos22,5^o=\sqrt{1-\sin^222,5^o}\approx 0,924$

$\tan22,5^o=\dfrac{\sin22,5^o}{\cos22,5^o}\approx 0,41$

$\cot22,5^o=\dfrac{1}{\tan22,5^o}\approx 2,44$

Đáp án:

$\begin{cases}\sin22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}\\\cos22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 +\sqrt2}}{2}\\\tan22,5^o= \sqrt2 - 1\\\cot22,5^o= \sqrt2 + 1\end{cases}$

Giải thích các bước giải:

Dựng $∆ABC$ vuông cân tại $A$ có độ dài $AB = AC = 1 \Rightarrow BC = \sqrt2$

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 45^o$

Tia phân giác trong của $\widehat{B}$ cắt $AC$ tại $D$

$\widehat{ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC} = 22,5^o$

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{AC-AD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{AD}{1 - AD}$

$\Leftrightarrow AD = \sqrt2 - 1$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1 + 3 - 2\sqrt2 = 4 - 2\sqrt2$

$\Rightarrow BD = \sqrt{4 - 2\sqrt2}$

Ta được:

$\begin{cases}\sin\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{\sqrt2 - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt2}}= \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}\\\cos\widehat{ABD} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt2}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}\\\tan\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{AB} = \sqrt2 - 1\\\cot\widehat{ABD} = \dfrac{1}{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 + 1\end{cases}$

Vậy $\begin{cases}\sin22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt2}}{2}\\\cos22,5^o = \dfrac{\sqrt{2 +\sqrt2}}{2}\\\tan22,5^o= \sqrt2 - 1\\\cot22,5^o= \sqrt2 + 1\end{cases}$