Đáp án:
$\min = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$
Giải thích các bước giải:
$\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}$
$= \dfrac{3a}{b + c} + 3 + \dfrac{4b}{a + c} + 4 + \dfrac{5c}{a + b}+ 5 - 12$
$= \dfrac{3(a+b+c)}{b + c} + \dfrac{4(a + b + c)}{a + c} + \dfrac{5(a + b + c)}{a + b} -12$
$= (a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) - 12$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$(a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) - 12$
$\geq (a + b + c)\dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2(a + b + c)} - 12$
$= \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$
$a, b, c$ là các số thực dương tùy ý thoả mãn
$\dfrac{\sqrt3}{b + c} = \dfrac{2}{a + c} = \dfrac{\sqrt5}{a + b}$
Vậy $\min\left(\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}\right) = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$
