$A$ $=$ $\frac{1}{1.2}$ $+$ $\frac{1}{2.3}$ $+$ $\frac{1}{3.4}$ $+$ $...$ $+$ $\frac{1}{99.100}$
$=$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $-$ $\frac{1}{4}$ $+$ $...$ $+$ $\frac{1}{9}$ $-$ $\frac{1}{100}$
$=$ $1$ $-$ $\frac{1}{100}$ $=$ $\frac{99}{100}$