a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được
$+)\quad \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AB}{BC}$
$+)\quad \dfrac{AF}{FB} = \dfrac{AC}{BC}$
mà $AB = AC \, (gt)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AF}{FB}$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$
$\Rightarrow EF//BC$ (Theo định lý $Thales$ đảo
$\Rightarrow BCEF$ là hình thang
Lại có: $\widehat{B} = \widehat{C}$ $(gt)$
$\Rightarrow BCEF$ là hình thang cân
$\Rightarrow EC = FB$
Mặt khác:
$\widehat{ECF} = \widehat{BCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\, (gt)$
$\widehat{BCF} = \widehat{EFC}$ (so le trong)
$\Rightarrow \widehat{ECF} = \widehat{EFC}$
$\Rightarrow ∆ECF$ cân tại $E$
$\Rightarrow EF = EC$
$\Rightarrow EF = EC = FC$
Vậy $BCEF$ là hình thang cân có đáy bé bằng cạnh bên
2) Ta có:
$\widehat{ECF} = \widehat{BCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\, (gt)$
$\widehat{FBE} = \widehat{CBE}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}\, (gt)$
$\widehat{B} = \widehat{C} \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{ECF} = \widehat{FBE}$
Lại có: $\widehat{FOB} = \widehat{EOC}$ (đối đỉnh)
nên $\widehat{CEO} = \widehat{BFO}$
Xét $∆CEO$ và $∆BFO$ có:
$\widehat{ECF} = \widehat{FBE}$ $(cmt)$
$\widehat{CEO} = \widehat{BFO}$
$EC = BF$ (chứng minh ở câu a)
Do đó $∆CEO=∆BFO\, (g.c.g)$
$\Rightarrow OE = OF;\, OB = OC$
Mặt khác:
$AB = AC$
$BF = CE$
$\Rightarrow AF = AE$
$\Rightarrow AO$ là trung trực của $EF$ và $BC$
