a) Ta có:
$\widehat{AEB} = \widehat{AMB} = 90^o$ (nhìn đường kính $AB$)
$\Rightarrow \widehat{KEF} = \widehat{KMF} = 90^o$
Xét tứ giác $EFMK$ có:
$\widehat{KEF}+\widehat{KMF} = 180^o$
Do đó $EFMK$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có:
$\widehat{IAF}=\widehat{MAF}=\dfrac{1}{2}\widehat{IAM}$
Ta lại có:
$\widehat{EAM} + \widehat{MAF} = 90^o$
$\widehat{BAM} + \widehat{IAF} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{EAM} = \widehat{BAM}$
$\Rightarrow ∆BAM$ cân tại $B$
c) Xét $∆HAK$ có:
$AE\perp HK$
$\widehat{IAF}=\widehat{MAF}=\dfrac{1}{2}\widehat{IAM}$
Do đó $∆HAK$ cân tại $A$
$\Rightarrow AH=AK$
$\Rightarrow HE = EK$
Mặt khác:
$\widehat{IAF}=\widehat{MAF}=\dfrac{1}{2}\widehat{IAM}$
$\Rightarrow s₫\overparen{AE} = s₫\overparen{EM}$
$\Rightarrow \widehat{AME} = \widehat{MAE}$ (góc nội tiếp chắn cung tương ứng)
mà $\widehat{AME} = \widehat{KFH}$ ($EFMK$ nội tiếp)
nên $\widehat{MAE} = \widehat{KFH}$
hay $\widehat{KAF} = \widehat{KFA}$
$\Rightarrow ∆KAF$ cân tại $K$
mà $KE\perp AF$
$\Rightarrow AE = EF$
Xét tứ giác $AKFH$ có:
$AF\perp HK$
$AE = EF\quad (cmt)$
$HE = EK\quad (cmt)$
Do đó $AKFH$ là hình thoi
d) Xét $∆BAF$ có:
$AM\perp BF$
$BE\perp AF$
$BF$ cắt $AF$ tại $K$
$\Rightarrow K$ là trực tâm của $∆ABF$
$\Rightarrow FK\perp AB$
$\Rightarrow \widehat{HFB} +\widehat{FBA} = 90^o$
Ta có:
$AKFI$ là tứ giác nội tiếp
$\Leftrightarrow \widehat{IAK} = \widehat{KFB}$
mà $\widehat{IAK} + \widehat{MAB} = 90^o$
$\widehat{HFB} +\widehat{FBA} = 90^o$ $(cmt)$
nên $\widehat{MAB} = \widehat{FBA}$
$\Leftrightarrow ∆MAB$ vuông cân tại $M$
$\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
