$y = x^3 + 3x^2 + mx + 2 \qquad (C)$
$TXĐ: D = \Bbb R$
a) $m = 3 \Rightarrow y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \qquad (C')$
$y' = 3x^2 + 6x + 3$
$y'' = 6x + 6$
$y'' = 6 \Leftrightarrow 6x + 6 = 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2$
$\Rightarrow y'(0) = 3$
Phương trình tiếp tuyến của $(C')$ tại điểm $M(0;2)$ với hệ số góc $k = y'(0) =3$ có dạng:
$y = 3(x - 0) + 2$
$\Leftrightarrow y = 3x + 2$
b) $y = x^3 + 3x^2 + mx + 2$
$y' = 3x^2 + 6x + m$
Hàm số đồng biến trên $\Bbb R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\\Delta_{y'}' \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3 > 0\\3^2 - 3m \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow 3m \leq 9$
$\Leftrightarrow m \leq 3$
