Gọi $H$ là trọng tâm của $ΔABC$
$\Rightarrow B'H\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(BB";(ABC))} = \widehat{B'BH} = 60^o$
$\Rightarrow \begin{cases}BH = BB'.\cos60^o = \dfrac{a}{2}\\B'H = BB'\sin60^o = \dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$
Gọi $M$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow BM = \dfrac{3}{2}BH = \dfrac{3a}{4}$ (tính chất trọng tâm)
Ta lại có:
$ΔABC$ vuông tại $C$ có $\widehat{A} = 60^o$
$\Rightarrow BC = AC.\tan60^o = AC\sqrt3$
$\Rightarrow AC = \dfrac{BC\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow CM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{BC\sqrt3}{6}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BM^2 = CM^2 + BC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{9a^2}{16} = \dfrac{BC^2}{12} + BC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{9a^2}{16} = \dfrac{13BC^2}{12}$
$\Leftrightarrow BC^2 = \dfrac{27a^2}{52}$
$\Rightarrow BC = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$
$\Rightarrow CM = \dfrac{3\sqrt{13}}{52}$
$\Rightarrow CA = 2CM = \dfrac{3a\sqrt{13}}{26}$
$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}CA.CB = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}\cdot\dfrac{3a\sqrt{13}}{26} = \dfrac{9a^2\sqrt3}{104}$
Ta được:
$V = S_{ABC}.B'H = \dfrac{9a^2\sqrt3}{104}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{27a^3}{208}$
