a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB^2 = BH.BC$
$AC^2 = CH.BC$
$\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BM.AB}{CN.AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}$
$\Rightarrow \dfrac{BM}{CN}=\dfrac{c^3}{b^3}$
b) Ta có: $AMHN$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow MN = AH$
Ta lại có:
$AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC}$
Do đó:
$BM.CN.BC=BM.CN.\dfrac{AB.AC}{AH}$
$=\dfrac{(AB.BM).(AC.CN)}{AH}$
$=\dfrac{BH^2.CH^2}{AH}$
$=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3$
Vậy $MN^3 = BM.CN.BC$