Giải thích các bước giải:
*) Với \(m = 0\) thì phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
0.x + y = 3.0 - 1\\
x + 0.y = 0 + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.\)
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)\)
*)
Với \(m \ne 0\), ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 3m - 1\\
x + my = m + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( {mx + y} \right) = m\left( {3m - 1} \right)\\
x + my = m + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2}x + my = 3{m^2} - m\\
x + my = m + 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {{m^2}x + my} \right) - \left( {x + my} \right) = \left( {3{m^2} - m} \right) - \left( {m + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {m^2}x - x = 3{m^2} - 2m - 1\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right).x = \left( {3{m^2} - 3m} \right) + \left( {m - 1} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right).x = 3m\left( {m - 1} \right) + \left( {m - 1} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)x = \left( {3m + 1} \right)\left( {m - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
- Nếu \(m = 1\) thì phương trình (*) trở thành: \(0.x = 0\), phương trình này có vô số nghiệm \(x\). Hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\\
x + y = 2
\end{array} \right.\)
Suy ra hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
- Nếu \(m = - 1\) thì phương trình (*) trở thành: \(0x = 4\), phương trình này vô nghiệm.
Do đó, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
- Nếu \(m \ne \pm 1\) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\)
Khi đó, ta có:
\(\begin{array}{l}
x + my = m + 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} + my = m + 1\\
\Leftrightarrow my = m + 1 - \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\
\Leftrightarrow my = \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {3m + 1} \right)}}{{m + 1}}\\
\Leftrightarrow my = \dfrac{{\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - \left( {3m + 1} \right)}}{{m + 1}}\\
\Leftrightarrow my = \dfrac{{{m^2} - m}}{{m + 1}}\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}
\end{array}\)
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}};\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)\)
