Đáp án:
$\begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = 4\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
Đặt $P(x) = ax^3 + bx^2 + c$
Gọi $R$ là phần dư của phép chia $P(x)$ cho $x + 2$
Áp dụng định lý Bézout ta được:
$R = P(-2) = -8a + 4b + c$
Do $P(x)\quad \vdots \quad x + 2$
nên $R = 0$
Hay $-8a + 4b + c = 0\quad(1)$
Gọi $R' = ax + b$ là phần dư của phép chia $P(x)$ cho $x^2 -1$
Ta có: $R' = x + 5$
$x^2 - 1 = (x +1)(x -1)$
Áp dụng định lý Bézout ta được:
$\quad \begin{cases}R' = P(1)\\R' = P(-1)\end{cases}$
$\to \begin{cases}1 + 5 = a + b + c\\-1 + 5 = - a + b + c\end{cases}$
$\to \begin{cases} a + b + c = 6\\- a + b + c = 4\end{cases}(2)$
Từ $(1)(2)$ ta được hệ phương trình:
$\quad \begin{cases}-8a + 4b + c = 0\\a + b + c = 6\\- a + b + c = 4\end{cases}$
$\to \begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = 4\end{cases}$
