Đáp án:
$m \ge - 2$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
y = {x^2} + 2x\left( {m + 1} \right) + {m^2} + m + 1\\
= {x^2} + 2x\left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^2} - m\\
= {\left( {x + m + 1} \right)^2} - m
\end{array}$
Mà ${\left( {x + m + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow y = {\left( {x + m + 1} \right)^2} - m \ge - m\\
\Rightarrow Miny = - m
\end{array}$
Như vậy tập giá trị của hàm số $y = {x^2} + 2x\left( {m + 1} \right) + {m^2} + m + 1$ là: $\left[ { - m; + \infty } \right]$
Để tập giá trị của hàm số chứa $\left[ {2;3} \right]$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset \left[ { - m; + \infty } \right]\\
\Leftrightarrow - m \le 2\\
\Leftrightarrow m \ge - 2
\end{array}$
Vậy $m \ge - 2$ thỏa mãn đề bài.
