Giải thích các bước giải:
a.Ta có: $IH\perp AB=H$
$\to AB$ là tiếp tuyến của $(I,IH)$
b.Ta có $AB$ là đường kính của $(O), I\in (O)$
$\to \Delta IAB$ vuông tại $I$
Mà $IH\perp AB=H$
$\to IH^2=AH.HB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c.Ta có: $AM,AH$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(I)$
$\to IA$ là phân giác $\widehat{MIH}$
$\to \widehat{MIH}=2\widehat{AIH}$
Tương tự $\widehat{NIH}=2\widehat{BIH}$
$\to \widehat{MIN}=\widehat{MIH}+\widehat{NIH}=2\widehat{AIH}+2\widehat{HIB}=2\widehat{AIB}=180^o$
$\to M,I,N$ thẳng hàng
$\to MN$ là đường kính của $(O)\to I$ là trung điểm $MN$
Lại có $AM\perp MI, BN\perp NI$
$\to AM//BN$
Vì $O$ là trung điểm $AB$
$\to IO$ là đường trung bình hình thang $ABNM$
$\to OI//AM, OI=\dfrac12(AM+BN)$
$\to OI\perp MN$
$\to MN$ là tiếp tuyến của $(O)$
d.Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM=AH$
Tương tự $BN=BH$
Mà $AM,BN\perp MN$
$\to S_{AMNB}=\dfrac12(AM+BN)\cdot MN=OI\cdot MN$
$\to S_{AMNB}=R\cdot MN\le R\cdot AB=2R^2$
Dấu =xảy ra khi $MN//AB\to MN=AB$
$\to HI\perp MN\to H\equiv O$
$\to I$ nằm giữa cung $AB$
