Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
${\left( {n + 6} \right)^2} - {\left( {n - 6} \right)^2} = \left( {n + 6 - \left( {n - 6} \right)} \right)\left( {n + 6 + n - 6} \right) = 12.2n = 24n$
Mà $24n \vdots n,\forall n \in Z$
$ \Rightarrow \left( {{{\left( {n + 6} \right)}^2} - {{\left( {n - 6} \right)}^2}} \right) \vdots n,\forall n \in Z$
Ta có đpcm.
b) Ta có:
${n^2} + 4n + 3 = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)$
Mà $n$ lẻ $\to n = 2k + 1\left( {k \in Z} \right)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{n^2} + 4n + 3 = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)\\
= \left( {2k + 1 + 1} \right)\left( {2k + 3 + 1} \right)\\
= \left( {2k + 2} \right)\left( {2k + 4} \right)\\
= 2\left( {k + 1} \right).2\left( {k + 2} \right)\\
= 4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)
\end{array}$
Do ${k + 1}$ và ${k + 2}$ là 2 số nguyên liên tiếp nên $\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) \vdots 2,\forall k \in Z$
$ \Rightarrow 4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) \vdots 8,\forall k \in Z$
Hay $\left( {{n^2} + 4n + 3} \right) \vdots 8$ khi $n$ lẻ.
Ta có đpcm.
